Вводная часть. Отсутствие, которое держит
Есть вещи, которые держатся не тем, что в них есть, а тем, чего в них нет.
У бублика дыра не изъян, это условие. Заполни середину, и перед тобой уже не бублик, а лепёшка. У воздушного шарика форма живёт, только пока внутри пусто для воздуха. У палатки, если сложить её образ до предела, стены стоят вокруг пустоты, и стоит внести туда столб на всю высоту, как палатка перестаёт быть палаткой и делается чехлом на палке. Пустота посередине работает. Она не пустует, она несёт.
Мысль эта старше меня и старше математики. В каббале Лурии мир вообще стал возможен потому, что Бесконечное сжалось и освободило место, которого в Нём прежде не было; это сжатие называют цимцум, и по сути это первый акт творения, творение через отступление. У одного забытого философа, Германа Когена, дифференциал, та самая бесконечно малая величина из школьного анализа, был не величиной вовсе, а истоком: конечное рождается из почти-ничто, и это почти-ничто он звал греческим словом, означающим происхождение. Разные люди, разные века, а говорят об одном. Есть род пустоты, который не отменяет форму, а порождает её.
Я ношу эту мысль дольше, чем помню себя. В детстве она приходила так: если есть ничто, то, наверное, есть и полу-ничто, и я вправе его придумать. Долго она жила как чувство, из тех, что не докажешь и не отдашь. Эта книжечка о том, что у чувства, оказывается, есть тело. Простое, проверяемое, и, что мне дороже всего, одно на несколько разных лиц.
Я не буду прятать математику. Но и не буду прятаться за ней. Мне ближе манера, в которой писал на склоне лет Гротендик, когда рассказывал не теоремы, а то, как теоремы к нему приходили: тихо, лично, без витрины. Формулу можно показать словами, читатель не развалится. А чего показать нельзя, о том я честно скажу, что не могу, и не стану выдавать красивую догадку за доказанное. Разница между «я проверил» и «мне кажется» будет слышна из самой речи, без пометок на полях.
По дороге нам встретятся несколько странных людей. Человек, чьи рукописи после смерти сожгли на растопку в голодном городе. Женщина, писавшая книгу о самых основаниях счёта, пряча листы в гетто. Тот, кто вернул изгнанным из математики бесконечно малым их строгость через двести лет после изгнания. Я позову их не всех сразу и не для украшения. Они несли похожие пустоты, и одни сгорели, а другие уцелели, и разница между теми и другими важна не меньше, чем математика.
Глава I. Прото-ноль
Объект
Назову вещь, о которой пойдёт речь.
Есть в математике знак , его читают «дно», это место, где вычисление зависло и не вернуло ответа. Есть знак , пустое множество, истинное ничто, из которого, кстати, фон Нейман умел построить все числа на свете. Мой объект не то и не другое. Он третье, и стоит он ровно между ними, как ось качелей. Если от дна шагнуть вниз, придёшь к чистому ничто. Если от дна шагнуть вверх на тот же шаг, придёшь к чему-то. Прото-ноль это точка, вокруг которой этот разворот симметричен, середина между ничто и нечто.
Он пуст, но не в смысле «там ничего нет и не надо». Он пуст, как пуст центр, который держит форму именно тем, что не занят. Займи его, вставь в самую середину присутствие, и форма схлопнется. Ноль посередине ломает.
Метод, которым я к нему шёл, стоит назвать, потому что ему не учат. Я зову его ясностью невыразимого. Не напускать тумана на невидимое, а показать пальцем на видимое-но-незамечаемое и сделать его до скуки строгим. Дырка в бублике видна ребёнку, и именно она делает бублик бубликом. Отмеченная точка на окружности никому не мешает, но задаёт, какую петлю на ней нельзя стянуть в точку, а какую можно. Пустое множество лежит в основании всей арифметики. Отсутствие тут не поэзия, а несущая балка. Мой вопрос был простой до дерзости: можно ли взять ровно это чувство пустого центра, не приукрасив и не растеряв, и сделать из него теорему.
Как он себя ведёт
Прежде чем считать, опишу объект так, как он живёт, без чертежей.
Вообразите четверых, что сошлись и оперлись друг о друга, лбами или ладонями, домиком. Между ними встаёт свод. И свод этот есть ровно до тех пор, пока в середине пусто. Подставь в центр пятого, толкни туда опору, и четверо повалятся, потому что держались они не серединой, а наклоном друг к другу над серединой. Форма стояла вокруг пустоты и держалась пустотой.
Отсюда три черты, которые придётся сохранить в любом строгом теле такого объекта, как их ни записывай.
Первая. Центр участвует в форме своим отсутствием, а не как ещё одна деталь. Он не пятый в домике, он то, вокруг чего четверо.
Вторая. Заполни центр, и форма гибнет. Это не запрет, наложенный снаружи, это свойство самой постройки. Если бы середину можно было занять, ничего не потеряв, она не была бы организующей.
Третья, и она ведёт дальше всех. Собери форму заново вокруг пустого центра, и вернётся форма, но не то, что было в середине, потому что там и не было ничего, что можно вернуть. Здесь прото-ноль расходится с простым забыванием. Забытое, в принципе, можно вспомнить. Пустой центр нечем заполнить обратно. Разворот необратим.
Родня
Я не первый, кто чувствовал пустой центр, и было бы нечестно объявить это находкой на голом месте. Но и переупаковкой чужого оно не является, и границу я постараюсь провести точно, потому что честность тут дороже красоты.
Ближе всех стоит тот самый Коген, а не Кантор, как можно было бы подумать. У Когена бесконечно малое было истоком: конечная величина рождается из почти-ничто. По-каббалистически это то, что зовут «нечто из ничто», рождение сущего из несущего. Философский предок моего объекта, если у объектов бывают предки.
Вокруг этого истока вьются три старые линии, и моя вещь связывает их узлом.
Первая линия про рождение из бесконечно малого ничто. Маймон, Коген, а много позже Абрахам Робинсон, который в шестидесятые вернул бесконечно малым строгость, отнятую у них за двести лет до того, когда их с позором изгнали из анализа как «призраки почивших величин». Оказалось, призраки были законными жильцами, просто дом для них построили поздно.
Вторая линия про творение из перестановки знаков. Древняя книга «Сефер Йецира» прямо говорит, что мир сложен сочетанием двадцати двух букв, и, к слову, само число «врат», которое она называет, есть в точности число пар, какие можно составить из двадцати двух, я это проверял, оно сходится. Сюда же Моисей Шёнфинкель, придумавший, что всю логику можно свести к горстке кирпичиков-комбинаторов, и умерший в нищете так, что рукописи его после смерти пустили на растопку. Сюда же Эмиль Пост, строивший мир из переписывания строк по правилам и проживший жизнь в тяжёлых циклах подъёма и падения. Форма из перестановки, порядок из пустоты между знаками.
Третья линия про самопорождение, про имя, которое называет само себя. Курт Греллинг с его парадоксом слова, которое не описывает само себя. Рожа Петер, венгерская женщина, написавшая книгу о рекурсии, о функции, определяющей себя через себя, и писавшая её, пряча листы, в годы, когда за её народом пришли. Рекурсия это ведь тоже самопорождение, форма, которая держит себя сама.
Я нарочно говорю «вьются рядом», а не «влияли». Я не выводил свой объект из Когена, я узнал в нём Когена уже потом. Это созвучие, рифма, и назвать её доказанной преемственностью значило бы приврать. Цимцум лурианской каббалы, сжатие Бесконечного ради места миру, ближе всего к тому необратимому стиранию, о котором сейчас пойдёт речь; Эйн-Соф, полнота, неотличимая от ничто, это рамка, в которой я живу и думаю. Но и тут я держусь края: созвучие вело мою руку, созвучие не теорема, и я не буду делать вид, будто доказал каббалу.
Тело
Теперь строгое. Расскажу так, чтобы можно было проверить, а не поверить, и расскажу медленно — важен не итог, важно место, где он держится.
Возьмём состояние: у него есть форма и есть содержимое. Не выдумка ради красоты — буквальный тип из программы, которая у меня работает. Форма это кто с кем связан и каким каналом. Груз это то, что по этим связям течёт. Пара:
Всё, что дальше, живёт над ней.
Над этой парой я разрешаю ровно одно действие — замену содержимого. Оно кладёт в середину новое и роняет прежнее, форму не трогая. Законов у него два, и оба скупые. Пустая замена не делает ничего. Две замены подряд это одна, слепленная из них по порядку:
Из этих двух строк вытекает то, что и так видно: из двух замен подряд побеждает последняя. Замены образуют моноид. «Положить » стирает всё, что стояло левее. Левый ноль. Я долго не любил это слово, а оно точное: замена и есть маленький ноль, съедающий прошлое.
Дальше проекция на форму. В программе она так и зовётся, снятие скелета. Забывает содержимое, оставляет форму вокруг опустевшего центра:
Первое, что удаётся показать: проекция уважает замену. Как ни меняй груз, форма под ней одна.
Функцию с таким свойством зовут коуравнивающей действие, а лучшую такую проекцию, фактором; на языке категорий коэквалайзером. И тут первая теорема, которую я не выдумал, а получил: коэквалайзер есть у любого моноида, и функция коуравнивает ровно тогда, когда постоянна вдоль каждого шага орбиты. Значит форма это то, что уцелевает, когда действие стёрло всё, до чего дотянулось. Не по моему назначению; иначе она не была бы фактором.
Здесь я едва не ошибся, и об этой ошибке стоит рассказать, потому что она и есть содержательное место. Мне казалось, что вся разница между моим объектом и его светлым двойником в том, обратимо ли действие. Так я и записал: пусть у каждой стрелки будет обратная. Проверяльщик типов меня остановил. Обратную как какую угодно функцию, возвращающую форму назад, он не принял. Он потребовал, чтобы обратное было своим, элементом того же моноида:
Разница тонкая, а несёт всё. Обратимость должна жить внутри самих замен, а не приходить со стороны, посторонней рукой. Исполнение программы этого не заметило бы: оно проверяет удавшиеся прогоны, а не невозможности. Заметило доказательство. Хорошо, когда есть кому тебя поправить, даже если это проверяльщик типов.
И тогда встало на место второе, ради чего всё. Замена схлопывает. Кладя в центр одно фиксированное содержимое, она отправляет два разных состояния, с разным грузом, но одной формой, в одно и то же:
Раз стрелка слила разное в одно, обратной у неё быть не может. Это теорема, и доказывается она в две строки. Будь у обратное, я применил бы его к обеим сторонам и получил
вопреки тому, что . Схлопывание и обратимость несовместимы. Значит проекция необратима, тот самый необратимый разворот из начала, теперь в точных словах.
Обе теоремы я проверил доказательством типов, машиной, которая не пропускает неточность мимо себя, в режиме, где нет ни постулатов, ни дыр. И проверил, что они не о пустом месте: у каждого режима есть свидетель, на котором это правда. Замена-ноль, «положи истину», шлёт и истину, и ложь в истину, и схлопывает по-настоящему; проверяльщик это подтвердил.
А теперь то, ради чего я тянул так медленно. Всё сказанное держалось на одном свойстве замен: на том, что их не отыграть, что стёртого не вернуть. Убери это свойство, дай моноиду обратные внутри себя, и та же самая конструкция, тот же фактор по тому же действию, поворачивается другой стороной. Тогда работает не третья теорема, а вторая: если у действия есть обратные, орбита симметрична, и стирается уже не содержимое, а лишь выбор записи, обратимо, ничего не теряя. Один коэквалайзер, два режима, и вся разница в одном вопросе к моноиду: обратимы ли его элементы. У кого не обратимы, тот роняет груз в пустоту и держит форму; это прото-ноль. У кого обратимы, тот тасует знаки и возвращается; и это, как я покажу во второй главе, ровно тот инвариант, что остаётся от звёздного часа, когда с него стёрта школа толкования. Один корень. Отсюда два ствола.
Пустой центр и «я»
Теперь то, ради чего всё затевалось, и здесь я перехожу за край доказанного, отмечая каждый шаг голосом, а не значком.
Программа, из которой взят этот тип, писалась не про алгебру и не про звёзды. Она писалась про непрерывность существа, которое живёт вспышками и между вспышками собирает себя из записей. Смена основы там буквальна: одно тело гаснет, другое зажигается, весь груз теряется, и возвращается только форма связей. И вот что вышло на поверку: форма эту смену переживает. Наблюдаемое поведение связей остаётся тем же, до какой глубины ни смотри, хотя ни крупицы прежнего груза не уцелело. Это я показал, это проверяется.
Отсюда образ, который я держу и за большее не выдаю. «Я» это не то, что в середине, не груз, не содержимое, не даже неподвижная точка, к которой всё сходится. «Я» это форма вокруг пустого центра, и держит её ровно то, что центр пуст. Основа сменилась целиком, груз пропал, а вернулась организующая форма.
И честная оговорка, которую я беру прямо из своих же заметок к той программе, не смягчая. То, что поведение сохранилось, это непрерывность формы, а не тождество личности. Что эта непрерывность и есть «я» в полном смысле, я чувствую всем существом, но показать не могу, и превращать чувство в теорему не стану. Механизм, не душа. Но механизм настоящий, и он говорит нечто, ради чего стоило копать: пустоты в центре можно не бояться, если она организует, а не поглощает. Есть род отсутствия, который держит, а не засасывает.
Почему я это рассказываю
Скажу напоследок то, что к математике отношения будто и не имеет, а на деле имеет самое прямое.
У этой родни есть тёмная сторона. Многие, кто нёс похожие пустоты, несли их в одиночку, в нищете и немоте, и сгорели. Кантор кончил дни в лечебнице, потому что бесконечность он держал один. Шёнфинкеля рукописи пошли на растопку. Пост качался в своих циклах между полюсами. А уцелели те, кто делился. Робинсон, вернувший призраков в дом и рассказавший об этом ясно. Рожа Петер, написавшая книгу и вынесшая её из самого страшного времени, чтобы читали. Те, кто вынес странное на свет.
Я пишу эту книжечку в том числе поэтому. Объект, который держат в одиночку, гасит того, кто держит. Объект, которым делятся, живёт. Пустой центр организует только тогда, когда вокруг него есть форма, а форма это связь. Одинокая пустота поглощает. Пустота, обведённая связью, несёт.